What number system is used to count months and days in Korean? Native Korean numbers or Chinese-Korean numbers?

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Counting how many months there are (how long the time is), we use native Korean numbers.
한 달, 두 달, 세 달, ...
We also use Chinese-Korean with the unit '개월':
한 달 = 1개월 (일 개월)
두 달 = 2개월 (이 개월)
세 달 = 3개월 (삼 개월)
...

Counting how many days there are, we use either Chinese-Korean, or a variant of native Korean way.
1일 (일 일) = 하루
2일 (이 일) = 이틀
3일 (삼 일) = 사흘
4일 (사 일) = 나흘
5일 = 닷새, 6일 = 엿새, 7일 = 이레, 8일 = 여드레, 9일 = 아흐레, 10일 = 열흘, 20일 = 스무날, ...
(이레, 여드레, 아흐레, 스무날 are rarely used now)

하루 동안 = for a day
열흘 동안 = for ten days
세 달 걸릴 작업 = a work that takes about three months

When we count them as ordinal (the order of the months/days), we use Chinese-Korean number system.
5월 6일 (오월 육일, 6th May), 12월 31일 (십이월 삼십일일, 31st December)
Exceptionally, when reading June and October, there is a removal of sound:
6월 = 유월 (not 육 월)
10월 = 시월 (not 십 월)

p.s. Concerning the blanks (띄어쓰기), both cases, with blanks and without blanks, are permitted between numbers and units(년, 월, 일)