Etwas hört sich gut an.
Etwas klingt gut.

Beides bedeutet dasselbe, glaube ich, aber vielleicht gibt es einen kleinen Unterschied dazwischen? Zum Beispiel eines wird öfter im Umgangssprache verwendet, oder sowas?

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Es gibt immer einen Unterschied…. so klein er auch sein mag:)

„sich anhören“ betont die Wahrnehmung eines Wortes/Satzes übers Gehör.
„Klingen“ und Klang betonen den Gesamteindruck, da schwingen wohlgefällige Töne, es hat etwas Musikalisches an sich.

So gesehen ist „klingen“ weitaus emotionaler als der relativ nüchterne Hörvorgang.

„Schläft ein Lied in allen Dingen“, heißt es bei Eichendorff…. Man hört etwas in allen Dingen… wie prosaisch im Vergleich.
Es sind feine, feinste Nuancen, die nur der dafür empfängliche Mensch wahrnimmt.
Man nennt es die Konnotation eines Wortes….